2.4. Aritmetiniai veiksmai

 

2.4. ARITMETINIAI VEIKSMAI

Mokame sudėti, atimti, dauginti ir dalinti dešimtainius skaičius. Kitose skaičiavimo sistemose šias operacijas atliekame panašiai kaip ir dešimtainėje. Daugiausiai dėmesio skirsime dvejetainei sistemai.

2.4.1 Paprasčiausios aritmetinės operacijos.

Dvejetainėje sistemoje sudėtį atliekame pagal sudėties lentelę:

0+0=  0, 0+1=  1, 1+0=  1, 1+1=10, vienas pernešamas į vyresnę skiltį.

Pavyzdys:	1 1 0 1 1 0 1 +   1 0 0 1 1 1 1
	0 1 0 0 0 1 0 + 1.     1 1    1	suma neįvertinus pernašos
	1 0 1 1 1 1 0 0	galutinė suma

Sudėtį galima atlikti nenurodant pernašų, o iš karto užrašant galutinę sumą.

Šešioliktainių skaičių sudėties pavyzdys:

Veiksmai su šešioliktainiais	Atitinkami veiksmai su dešimtainiais
				1
5 9 F H		5		9		15
+    E  4  6 H		+14		+  4		+   6
1  3  E  5 H		19 = 16 + 3		14		21 = 16 + 5

Dešinėje pusėje paaiškinta kaip atliekama sudėtis. Jauniausioje skiltyje skaitmenį F (F = 15) sudėję su 6 gavome 21,kurį užrašėme suma 16 su 5. 16 pernešame į sekančią skiltį kaip 1. Taip pat atliekame sudėtį ir kitose skiltyse.

Dvejetainių skaičių atimties pavyzdys:	1 0 1 1 0
	- 1 0 0 1 1
	0 0 0 1 1

Atimdami iš nulio vienetą, skolinamės iš vyresnės skilties.
Atimties operacija, skolinantis 1 iš vyresnės skilties, skaičiavimo technikoje netaikoma. Ši operacija keičiama sudėtimi, kur skaičiai užrašomi specialiais kodais.
Visos aritmetinės operacijos kompiuteriuose ir kituose skaitmeniniuose įtaisuose atliekamos su dvejetainiais skaičiais. Sudėtis – svarbiausias veiksmas, nes visi kiti trys aritmetiniai veiksmai (atimtis, daugyba, dalyba) kompiuteriuose verčiami sudėtimi.
Dauginant, dauginamas skaičius sudedamas tiek kartų, iš kiek reikia dauginti. Dalijant atliekama daugkartinė atimtis.
Dauginant iš dviejų, vietoje sudėties galime atlikti skaičiaus perstūmimą per vieną skiltį į kairę, t.y. skaičiaus dešinėje prirašyti 0:

Dvejetainis	Dešimtainis
1 0 1	5
1 0 1 0	10
1 0 1 0 0	20
1 0 1 0 0 0	40
1 0 1 0 0 0 0	80

2.4.2 Skaičių papildymai

Skaičių papildymais vadinami skaičių specialūs kodai, kurie naudojami atimties operacijoms atlikti , o taip pat atlikti veiksmams su neigiamais skaičiais.
Skaičiavimo technikoje naudojami du skaičių papildymo variantai:

papildymas iki p^-1 ;
papildymas iki  p     (p- skaičiavimo sistemos pagrindas).

Papildymas iki  p^-1 

Papildymas randamas: p^p-1 = (pⁿ - 1) - N , kur: N – skaičius, n – skilčių skaičius.

Skaičius skliaustuose : dešimtainei sistemai -  9999999… ,
dvejetainei sistemai -   1111111… .

Dešimtainėje sistemoje: p^-1 = 10 – 1 = 9. Todėl kodas vadinamas papildymu iki 9 ir užrašomas skaitmenimis papildančiais turimo skaičiaus skaitmenis iki 9.
Rasime skaičiaus 546700 papildymą iki 9:

999999
-  546700	skaičius
453299	papildymas iki 9

Dvejetainėje sistemoje : p^-1  = 2 – 1 = 1. Todėl kodas vadinamas papildymu iki 1 ir užrašomas skaitmenimis papildančiais turimo skaičiaus skaitmenis iki1
Rasime skaičiaus 1 0 1 1 0 0 1 papildymą iki 1:

1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 1	skaičius
0 1 0 0 1 1 0	papildymas iki 1

Matome, kad papildymas iki 1, tai invertuotas skaičius. Dvejetainių skaičių papildymas iki 1 vadinamas atvirkštiniu kodu ir randamas skaičiuje visus 1 pakeičiant 0, o 0 pakeičiant 1 (invertuojant skaičių).

Papildymas iki p. 
Papildymas randamas: p_p-1 = pⁿ - N , kur: N – skaičius, n – skilčių skaičius.
Skaičius pⁿ dešimtainei ir  dvejetainei sistemoms -  10000000… ,

Dešimtainėje sistemoje: p  = 10. Todėl ir šis kodas vadinamas  papildymu iki 10 ir užrašomas skaitmenimis papildančiais turimo skaičiaus skaitmenis iki10.
Rasime skaičiaus 546700 papildymą iki 10:

1000000
-   546700	skaičius
453300	papildymas iki 10

Dvejetainėje sistemoje p = 2 Todėl ir šis kodas yra vadinamas papildymu iki 2 ir užrašomas skaitmenimis papildančiais turimo skaičiaus skaitmenis iki2, tai dvejetainėje sistemoje atitinka dvejetainį skaičių 10.
Rasime skaičiaus 1 0 1 1 0 0 1 papildymą iki 2 :

1 0 0 0 0 0 0 0
-    1 0 1 1 0 0 1	skaičius
0 1 0 0 1 1 1	papildymas iki 2

Dvejetainių skaičių papildymas iki 2 vadinamas papildomu kodu. Randamas užrašant skaičiaus atvirkštinį kodą ir pridedant prie jo 1:

1 0 1 1 0 0 1	skaičius
0 1 0 0 1 1 0	atvirkštinis kodas
+                  1
0 1 0 0 1 1 1	papildomas kodas

2.4.3 Dvejetainių skaičių atimtis atvirkštiniame Ir papildomame koduose.

Išsami aritmetinių operacijų analizė nėra šios mokymo programos tikslas. Apsiribosime keliais atimties operacijų pavyzdžiais.
Atliksime atimties operaciją su dešimtainiais skaičiais: 22 – 13 = 9, dvejetainėje sistemoje.
Skaičius užrašysime jų dvejetainiais kodais, kurių prireiks atlikti atimties operacijoms:

Dešimtainiai:	Dvejetainiai:
22	1 0 1 1 0	tiesioginis 22 kodas
13	0 1 1 0 1	tiesioginis 13 kodas
	1 0 0 1 0	atvirkštinis 13 kodas
	1 0 0 1 1	papildomas 13 kodas
9	0 1 0 0 1	tiesioginis 9 kodas

Atimtis atvirkštiniame kode:

• atimamas skaičius užrašomas atvirkštiniame kode;
• atimtis keičiama sudėtimi;
• papildomoje skiltyje atsiradusį 1 pridedame prie jauniausios skilties:

1 0 1 1 0	tiesioginis 22 kodas
+    1 0 0 1 0	atvirkštinis 13 kodas
1 0 1 0 0 0
→    →   1
0 1 0 0 1	rezultatas 9 dešimtainis

Atimtis papildomame kode:

• atimamas skaičius užrašomas papildomame kode;
• atimtis keičiama sudėtimi:
• į papildomoje skiltyje atsiradusį 1 nekreipiame dėmesio

1 0 1 1 0	tiesioginis 22 kodas
+    1 0 0 1 1	papildomas 13 kodas
1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1	rezultatas 9 dešimtainis

Atimties operacijos tampa sudėtingesnėmis, kai atimamas skaičius didesnis už skaičių ,iš kurio atimama.Šiuo atveju užrašomi ir skaičių ženklai, kurie taip pat sudedami.operacija atliekama ir rezultatai gaunami atvirkštiniame ar papildomame kode.Apie tai, jei įdomu, paskaitykite specialioje literatūroje.
Skaičiaus ženklo užrašymas. Skaičiaus ženklo užrašymui skiriama vyriausia skiltis.Teigiami dvejetainiai skaičiai žymimi 0, neigiami 1. Jeigu vaizduojamas skaičiaus ženklas, apie tai būtinai informuojama.
Aritmetinės operacijos supaprastėja, kai nurodomas skaičiaus ženklas. Neigiami skaičiai šiuo atveju užrašomi atvirkštiniame arba papildomame koduose. Tai neįeina į mokymo programą ir apie tai galime sužinoti specialioje literatūroje.